Matematika SMA Kelas X : 2016

Sunday, May 29, 2016

Contoh soal Barisan Aritmatika.

Contoh soal Barisan Aritmatika.

.1. Tentukan suku ke-25 dari barisan deret aritmatika : 1, 3, 5, 7, ... ?

Jawab :

Dik :

deret : 1. 3, 5, 7, ...

a = 1

b = 3-1 = 5-3 = 7-5 = 2

Un = a + (n-1) b

= 1 + (25-1)2

= 1 + (24).2

= 1 + 48

= 49

Jadi nilai dari suku ke-25 (U25) adalah 49

2. Jika diketahui nilai dari suku ke-15 dari suatu deret arimatika adalah 32 dan beda deret adalah 2, maka cari nilai dari suku pertamanya ?

Jawab :

Dik :

U15 = 32

b = 2

n = 15

Ditanya : a ?

Penyelesaian :

Un = a + (n-1) b

U15 = a + (15-1) 2

32 = a + (14).2

32 = a + 28

a = 32 - 28

a = 4

Jadi nilai dari suku pertama (a) dari deret tersebut adalah 4.

3. Diketahui suatu barisan aritmatika dengan suku ke-7 adalah 33 dan suku ke-12 adalah 58.

Tentukan : a). Suku pertama (a) dan beda (b)

b). Besarnya suku ke-10

Jawab :
Diketahui :

U7 = 33

U12 = 58

Penyelesaian :

a). U7 = a + (7-1)b

33 = a + 6b

U12 = a + (12-1)b

58 = a + 11b

Lakukan metode subtitusi pada kedua persamaan tersebut.

58 = a + 11b

33 = a + 6b (-)

25 = 5b

b = 25/5

b = 5

33 = a + 6b

33 = a + 6.(5)

33 = a + 30

a = 33 - 30

a = 3

b). Un = a + (n-1) b

U10 = 3 + (10-1). 5

= 3 + (9).5

= 3 + 45

= 48

4. Dalam suatu barisan aritmatika, jika U₃ + U₇= 56 dan U₆ + U₁₀ = 86 , maka suku ke-2 deret tersebut adalah ?

Jawab :

U₃ + U₇= 56

(a + 2b) + (a +6b) = 56

2a + 8b = 56 (dibagi 2)

a + 4b = 8 ….(1)

U₆ + U₁₀ = 86

(a + 5b) + (a + 9b) = 86

2a + 14b = 86 (dibagi 2)

a + 7b = 43 ….(2)

Eliminasi (1) dan (2)

a + 4b = 8

a + 7b = 43 –

-3b = -15

b = 5 ….(3)

a = 8

jadi suku k-2 deret tersebut : U₂ = a + b = 8 + 5 = 13.

5. Diketahui barisan aritmatika dengan Un adalah suku ke-n. jika U₂ + U₁₅ + U₄₀ = 16 5, maka U₁₉ ?

INGAT bahwa : Un = a + (n – 1)b

U₂ + U₁₅ + U₄₀ = 165

(a + b) + (a + 14b) + (a + 39b) = 165

3a + 54b = 165

a + 18b = 55

sehingga U₁₉= a + (19 – 1)b

= a + 18b = 55 .

6. Diketahui barisan aritmetika 3, 8, 13, …

a. Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n barisan tersebut!

b. Suku keberapakah yang nilainya 198 ?

Jawab :

a. Dari barisan aritmetika 3, 8, 13, … diperoleh suku pertama a = 3 dan beda b = 8 – 3 = 5.

U_n = a + (n – 1)b

U₁₀= 3 + (10 – 1)5

= 3 + 9 x 5

= 3 + 45

= 48

U_n = a + (n – 1)b

= 3 + (n – 1)5

= 3 + 5n – 5

= 5n – 2

b. Misalkan U_n = 198, maka berlaku :

U_n = 198

5n – 2 = 198

5n = 200

n = 40

Jadi 198 adalah suku ke- 40

Contoh soal Deret Aritmatika.

1. itunglah jumlah 20 suku pertama dari deret arimetika 3 + 5 + 7 + …..

Jawab :

A = 3, b = 5 – 3 = 2, dan n = 20, maka :

S₂₀ = 10( 6 + 19.2)

= 10 ( 6 + 38)

= 10 ( 44 }

= 440

2. Suatu deret aritmatika mempunyai beda 2 dan jumlah 2 suku pertamanya adalah 240, jumlah 7 suku pertamanya adalah ?

Jawab :

B = 2

S_2o= 240

Ingat bahwa : S_n= n/2(2a + (n -1)b

S₂₀= 20/2(2.a + (20 – 1).2)

240=10(2a + 38)

240=20a +380 dibagi 10

24=2a +38

2a=24-38

2a=-14

A=-7

Sehingga :

S₇= 7/2(2a + (7 – 1)b)

=7/2(2(-7) + (7 – 1)2)

=7/2(-14 + 12 )

= -7

3. Dari suatu deret aritmatika dengan suku ke-n adalah U . diketahui U₃+ U₆+ U₉+ U₁₂= 72. Jumlah 14 suku pertama deret ini adalah ?

Jawab :

Suku ke-n dari barisan aritmatika dirumuskan : U_n = a + (n – 1)b

Sehingga :

U₃+ U₆+ U₉+ U₁₂= 72

(a +2b) + (a + 5b) + (a + 11b) = 72

4a + 26b = 72 (dibagi dengan 2)

2a + 13b = 36

Ingat bahwa jumlah n-suku pertama deret aritmatika :

S_n= n/2(2a + (n -1)b

S₁₄= 14/2(2a + 13b) = 7(36) =252.

4.       Diketahui     : U3 = 36, U5 + U7 = 144
Ditanya    : S10 ?
Jawab    :
Un = a + ( n – 1 )b
U3 = 36
U3 = a + ( 3 – 1 )b = 36
U3 = a + 2b = 36     … (1)
U5 + U7 = 144    { U5 = a + ( 5 – 1 )b }, { U7 = a + ( 7 – 1 )b }
( a + 4b ) + ( a + 6b ) = 144
2a + 10b = 144    … (2)
Eliminasi kedua persamaan :
a + 2b = 36     … (1)    | x 2        2a + 4b = 72
2a + 10b = 144    … (2)    | x 1        2a + 10b = 144 –
                            –6b = –72
                            b = 12
Subtitusi nilai b ke salah satu persamaan :
a + 2b = 36     … (1)
a + 2(12) = 36
a = 36 – 24
a = 12
Setelah nilai a dan b kita dapatkan baru kita mencari nilai dari S10
Sn = □(n/2) { 2a + ( n – 1 )b }
S10 = □(10/2) { 2(12) + ( 10 – 1 )12 }
S10 = 5 { 24 + (9)12 }
S10 = 5 { 24 + 108 }
S10 = 5 { 132 }
S10 = 660

5. Misal saya punya sejumlah kelereng. Kelereng tersebut akan saya bagikan habis ke 5 orang dari sobat hitung menurut suatu aturan barisan aritmatika. Jika orang ketiga dapat 15 kelerang dan orang ke-4 dapat 19 kelerang. Berapa jumlah kelereng yang saya punya?

Pembahasan
Jumlah kelereng = deret artimatika dengan n = 5 (S₅). Pertama kita cari nilai a dan b.

U₃ = 15 ⇔ a+2b = 15 …. (i)
U₄ = 15 ⇔ a+3b = 19 …. (ii)
……………………………………………. – (eliminasi)
- b = -4 ⇔ b = 4

a+2b = 15
a+8 = 15
a = 7
S₅= 1/2 5 (2(7)+(5-1)4) = 5/2 (30) = 75 buah kelereng.

Source: http://linajuntak.blogspot.co.id

Pembahasan Materi Barisan dan Deret Aritmatika

Pembahasan Materi Barisan dan Deret Aritmatika

Pengertian Barisan Aritmatika

Sebelum memahami pengertian barisan aritmatika kita harus mengetahui terlebih dahulumengenai pengertian basiran bilangan. Barisan bilangan merupakan sebuah urutan dari bilangan yang dibentuk dengan berdasarkan kepada aturan-aturan tertentu. Edangkan barisan aritmetika dapat didefinisikan sebagai suatu barisan bilangan yang tiap-tiap pasangan suku yang berurutan mengandung nilai selisih yang sama persis, contohnya adalah barisan bilangan: 2, 4 , 6, 8, 10, 12, 14, ...

Barisan bilangan tersebut dapat disebut sebagai barisana aritmatika karena masing-masing suku memiliki selisih yang sama yaitu 2. Nilai selisih yang muncul pada barisan aritmatika biasa dilambangkan dengan menggunakan huruf b. Setiap bilangan yang membentuk urutan suatu barisan aritmatika disebut dengan suku. Suku ke n dari sebuah barisan aritmatika dapat disimbolkan dengan lambang Un jadi untuk menuliskan suku ke 3 dari sebuah barisan kita dapat menulis U₃. Namun, ada pengecualian khusus untuk suku pertama di dalam sebuah barisan bilangan, suku pertama disimbolkan dengan menggunakan huruf a.

Maka, secara umum suatu barian aritmatika memiliki bentuk :

U₁,U₂,U₃,U₄,U₅,...Un-1

a, atb, a+2b, a+3b, a+4b,...a+(n-1)b

Cara Menentukan Rumus suku ke-n dari Sebuah Barisan

Pada barisan aritmatika, mencaru rumus suku ke-n menjadi lebih mudah karena memiliki nilai selisih yang sama, sehingga rumusnya adalah:

U2 = a + b

U3 = u2 + b = (a + b) + b = a + 2b

U4 = u3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b

U5 = u4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b

U6 = u5 + b = (a + 4b) + b = a + 5b

U7 = u6 + b = (a + 5b) + b = a + 6b

U68 = u67+b = (a + 66b) + b = a + 67b

U87 = u86+b = (a + 85b) + b = a + 86b

Berdasarkan kepada pola urutan diatas, maka kita dapat menyimpulkan bahwa rumus ke-n dari sebuah barisan aritmatika adalah:

Un = a + (n – 1)b dimana n merupakan bilangan asli

Pengertian Deret Aritmatika

Deret aritmatika dapat didefinisikan sebagai jumlah keseluruhan dari anggota barisan aritmatika yang dihitung secara berurutan. Sebagai contoh kita ambil sebuah barisan aritmatika 8,12,16,20,24 maka deret aritmatikanya adalah 8+12+16+20+24

Untuk menghitung deret aritmatika tersebut masih terbilang mudah kaerna jumlah sukunya masih sedikit:

8+12+16+20+24 = 80

Namun, bayangkan jika deret aritmatika tersebut terdiri dari ratusan suku, tentu akan sulit untuk menghitungnya, bukan? Oleh karenanya, kita harus mengetahui rumus untuk menghitung jumlah deret aritmatika. Rumus yang biasa digunakan adalah:

Sn = (a + Un) × n : 2

Sebelumnya kita sudah mengetahui rumus untuk menghitung Un, maka rumus tersebut dapat dimodifikasi menjadi:

Sn = (a + a + (n – 1)b) × n : 2

Sisipan pada Deret Aritmatika

Sisipan pada deret aritmatika dapat diperoleh dengan cara menambahkan deret kecil aritmatika lainnya diantara dua buah suku yang berurutan di dalam sebuah deret aritmatika. Untuk memahaminya dengan lebih mudah perhatikan saja contoh berikut ini:

Deret aritmatika awal: 2+8+14+20+26+32

Deret aritmatika setelah diberi sisipan: 2+4+6+8+10+12+14++16+18+20+22+24+26+28+30+32

Nilai selisih pada deret aritmatika yang telah diberi sisipan (b1) dapat diketahui dengan menggunakan rumus:

b1 = b/(k+1)

b1 = selisih pada deret yang telah diberi sisipan

b = selisih pada deret aritmatika awal

k = banyaknya bilangan yang disisipkan

sebagai contoh untuk menghitung selisih deret baru pada deret aritmatika yang telah saya tuliskan diatas adalah:

Deret awal: 2+8+14+20+26+32

Deret baru: 2+4+6+8+10+12+14++16+18+20+22+24+26+28+30+32

Rumus: b1 = b/(k+1)

Diketahui:

b = 8 – 2 = 6

k = 2

Maka:

b1 = 6/(2+1)

b1 = 6/3

b1 = 2

Demikianlah penjelasan mengenai pengertian barisan dan deret aritmatika.

Source: http://www.rumusmatematikadasar.com

Tuesday, May 24, 2016

Contoh dan Penyelesaian Matrix

Invers Matriks

INVERS MATRIKS:

Jika A dan B adalah matriks persegi, dan berlaku $A \cdot B = B \cdot A = I$ maka dikatakan matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A, atau ditulis $A^{-1}$ . Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non singular, sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.

Untuk mencari invers matriks persegi berordo 2×2, coba perhatikan berikut ini.

Jika $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ dengan $ad - bc \neq 0$ , maka invers dari matriks A (ditulis $A^{-1}$ ) adalah sebagai berikut:

$A^{-1} = \frac {1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$

Jika $ad - bc = 0$ maka matriks tersebut tidak mempunyai invers, atau disebut matriks singular.

Sifat-sifat matriks persegi yang mempunyai invers:

$(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$
$(B \cdot A)^{-1} = A^{-1} \cdot B^{-1}$
$(A^{-1})^t =(A^{t})^{-1}$

Contoh: Diketahui A = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

dan B =

Selidiki, apakah A dan B saling invers?

Penyelesaian :

Matriks A dan B saling invers jika berlaku A × B = B × A = I.

A × B =

B × A =

Karena A × B = B × A maka A dan B saling invers, dengan A^–1 = B dan B^–1 = A.

Menentukan Invers Matriks Berordo 2 × 2

Misalkan diketahui matriks A = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

, dengan ad – bc ≠ 0.

Suatu matriks lain, misalnya B dikatakan sebagai invers matriks A jika AB = I. Matriks invers dari A ditulis A^–1 . Dengan demikian, berlaku :

AA^–1 = A^–1A = I

Matriks A mempunyai invers jika A adalah matriks nonsingular, yaitu det A ≠ 0. Sebaliknya, jika A matriks singular (det A = 0) maka matriks ini tidak memiliki invers.

Misalkan matriks A = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

dan matriks B = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

sehingga berlaku A × B = B × A = I. Kita akan mencari elemen-elemen matriks B, yaitu p, q, r, dan s.

Dari persamaan A × B = I, diperoleh :

Jadi, diperoleh sistem persamaan :

ap + br = 1 dan aq + bs = 0

cp + dr = 0 cq + ds = 1

Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut, kalian peroleh :

Dengan demikian,

Matriks B memenuhi A × B = I.

Sekarang, akan kita buktikan apakah matriks B × A = I?

Karena ad – bc ≠ 0, berlaku B × A = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

= I

Karena A × B = B × A = I maka B = A^–1.

Jadi, jika A = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

maka inversnya adalah :

untuk ad – bc ≠ 0.

Contoh Soal 18 :

Tentukan invers matriks-matriks berikut.

a. A =

b. B =

Jawaban:

Menentukan Invers Matriks Berordo 3 × 3 (Pengayaan)

Invers matriks berordo 3 × 3 dapat dicari dengan beberapa cara. Pada pembahasan kali ini kita akan menggunakan cara adjoin dan transformasi baris elementer.

a. Dengan Adjoin

Pada subbab sebelumnya, telah dijelaskan mengenai determinan matriks. Selanjutnya, adjoin A dinotasikan adj (A), yaitu transpose dari matriks yang elemen-elemennya merupakan kofaktor-kofaktor dari elemen-elemen matriks A, yaitu :

adj(A) = (kof(A))^T

Adjoin A dirumuskan sebagai berikut.

Invers matriks persegi berordo 3 × 3 dirumuskan sebagai berikut.

Adapun bukti tentang rumus ini akan kalian pelajari lebih mendalam dijenjang pendidikan yang lebih tinggi.

Contoh Soal 19 :

Diketahui matriks A = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

. Tentukan invers matriks A, misalnya kita gunakan perhitungan menurut baris pertama.

Jawaban :

Terlebih dahulu kita hitung determinan A.

det A =

= 1(1) – 2(2) + 1(1) = –2

Dengan menggunakan rumus adjoin A, diperoleh :

adj(A) =

Jadi, A^–1 dapat dihitung sebagai berikut.

b. Dengan Transformasi Baris Elementer

Untuk menentukan invers matriks An dengan cara transformasi baris elementer, dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut berikut.

1) Bentuklah matriks (A_n | I_n), dengan In adalah matriks identitas ordo n.

2) Transformasikan matriks (A_n | I_n) ke bentuk (I_n | B_n), dengan transformasi elemen baris.

3) Hasil dari Langkah 2, diperoleh invers matriks A_n adalah B_n.

Notasi yang sering digunakan dalam transformasi baris elementer adalah :

a) B_i ↔ B_j : menukar elemen-elemen baris ke-i dengan elemen-elemen baris ke-j;

b) k.B_i : mengalikan elemen-elemen baris ke-i dengan skalar k;

c) B_i + kB_j : jumlahkan elemen-elemen baris ke-i dengan k kali elemen-elemen baris ke-j.

Contoh Soal 20 :

Tentukan invers matriks A = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

dengan transformasi baris elementer.

Penyelesaian :

Jadi, diperoleh A^–1 = This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Keterangan :

1/2 B₁ : Kalikan elemen-elemen baris ke-1 dengan 1/2.

B₂ – 5B₁ : Kurangkan baris ke-2 dengan 5 kali elemen-elemen baris ke-1.

B₁ – B₂ : Kurangi elemen-elemen baris ke-1 dengan elemen-elemen baris ke-2.

2B₂ : Kalikan elemen-elemen baris ke-2 dengan 2.

Contoh Soal 21 :

dengan transformasi baris elementer.

Jawaban :

Sumber:

http://contohdanpenyelesaianmatrix.blogspot.co.id/2014/06/invers-matriks_5.html?m=1